La gran matemática Marie-Sophie Germain tenía trece años cuando la Revolución Francesa empezó en 1789.  Durante el asalto de la Revolución, Sophie Germain pasaba sus días en la biblioteca de su padre, descubriendo y aprendiendo matemáticas. Sus historiadores nos dicen que en 1794, después de que la École Polytechnique fue fundada, Sophie obtuvo las notas de clases de los grandes matemáticos de ese tiempo quienes eran profesores en la École. No está claro como la joven adquirió las notas. Lo único que se sabe es que Sophie Germain tomó un nombre masculino, M. LeBlanc, y sometió un papel con análisis matemático de gran originalidad y perspicacia que despertó la curiosidad del Profesor Joseph-Luis Lagrange (1736 -1813).

Lagrange pronto descubrió que M. LeBlanc era en realidad una chica, y, profundamente impresionado por su inteligencia e ingenio, eventualmente él se convirtió en su  asesor de matemáticas y su partidario. Debe de clarificarse que el análisis matemático que el profesor Lagrange enseñaba era muy difícil, incluso para los estudiantes que tomaban su clase en la École. La educación de Sophie Germain era, sin embargo, desorganizada y sin currículo planeado, ya que nunca recibió la educación rigorosa que ella deseaba tanto. De todas maneras, Sophie buscó consejo de los matemáticos más famosos de su tiempo, y a pesar de su timidez social, ella era suficientemente audaz para someter sus propias ideas y soluciones a problemas matemáticos muy difíciles.

Sophie Germain escribió una carta a Adrien-Maria Legendre (1752 -1833), un gran matemático francés, acerca de unos problemas sugeridos en su Essai sur le Théorie des Nombres, o Ensayo en la Teoría de Números (1798). Para entonces Legendre debe de haber sabido que Sophie era una mujer porque él también era profesor y colega de Lagrange en la École. Legendre debe de haber visto el genio en la joven porque él correspondió y colaboró con Sophie por muchos años. Legendre incluyó los descubrimientos matemáticos de ella en un suplemento a la edición segunda de su ensayo Théorie.

Sophie Germain indudablemente estaba impresionada por el trabajo del famoso matemático alemán Carl Frierich Gauss (1777 -1855), quien en 1801 publicó la obra maestra en la teoría de números, Disquisitiones Arithmeticae, o sea Disquisiciones de Aritmética. En 1804 Sophie empezó a corresponder con Gauss, enviándole unos de sus propios análisis matemáticos.  ¿Cómo tuvo ella la valentía de escribirle a un sabio tan importante como Gauss? La única respuesta lógica es que Sophie buscaba acogida como una matemática genuina, y aparentemente ella tenía un entendimiento profundo de los métodos que Gauss presentó en su disertación. Entre los años 1804 y 1809, Sophie le escribió muchas cartas, inicialmente adoptando otra vez el seudónimo “M. LeBlanc” porque ella temía que Gauss ignoraría sus cartas si él supiera que ella era una mujer. En esas cartas ella enviaba pruebas relacionadas a teoremas en la teoría de números, y Gauss alababa su ingenuidad y habilidad matemática. De hecho, Gauss no sabía que ella era una joven de su edad hasta después de la ocupación francesa en su ciudad natal en Alemania en 1806.  Sophie, temiendo por la seguridad de Gauss, contactó a un comandante francés quien era amigo de su familia y le pidió que indagara acerca del bienestar de Monsieur Gauss y lo protegiera. Eventualmente Gauss descubrió que “M. LeBlanc” era en realidad una señorita. Él estaba muy impresionado e incluso mencionó las pruebas matemáticas y la sagacidad de la joven francesa en una carta que Gauss escribió a Olbers, uno de sus colegas. La correspondencia entre Sophie Germain and Gauss terminó en 1809 cuando él dejó de contestarle sus cartas.

Sophie Germain continuó trabajando sola, mas notablemente en la teoría de números, resultando en su solución parcial al Último Teorema de Fermat, solución que ahora se conoce como “El Teorema de Germain.” Sophie demostró la imposibilidad de resolver la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ, si x, y, z no son divisibles por un primo impar n. El Teorema de Germain fué la contribución más importante relacionada al Último Teorema de Fermat (1738) hasta el año 1840 cuando el matemático Kummer obtuvo el siguiente resultado.

Además de la teoría de números, Sophie Germain estaba atraída por física matemática. En 1808, el científico alemán Ernst F. F. Chladni fué a París y llamó la atención de la comunidad científica con sus experimentos de superficies vibrantes. Él espolvoreó arena en superficies elásticas, rasgueó los ejes con un arco y notó los patrones que resultaban, exhibiendo lo que ahora se llama las figures de Chladni. El Institut de France estableció un concurso con el siguiente reto: formular una teoría matemática de superficies elásticas e indique como concuerda con la evidencia empírica. Se fijó un plazo de dos años para que los matemáticos propusieran tal postulado matemático.

La teoría de elasticidad en dos dimensiones se consideraba muy tremenda para los matemáticos y, ya que Lagrange creía que los métodos matemáticos que estaban disponibles no eran adecuados, la mayoría de los científicos no atentaron formular tal teoría. Sophie Germain, sin embargo, aceptó el reto y se pasó los siguientes dos años tratando de derivar la teoría de elasticidad. En 1811 ella fué la única entrante en el concurso, pero su trabajo no ganó el premio. Sus historiadores concluyen que Sophie Germain no había derivado su hipótesis con principios físicos, y que su análisis carecía del rigor necesario debido a su deficiente conocimiento de técnicas analíticas y de cálculo de variaciones. El ensayo de Sophie Germain generó sin embargo más interés en el tema y proveyó la nueva percepción que se necesitaba para proseguir la teoría de elasticidad. Lagrange, quien era uno de los jueces en el concurso, corrigió los cálculos de Sophie Germain y desarrolló una ecuación que podría describir mejor los experimentos de Chladni.

Sin un ganador, el plazo del concurso se extendió por dos años más. Otra vez Sophie Germain sometió la única obra en la cual ella demostraba que la ecuación de Lagrange reproducía los patrones de Chladni en varios casos, pero ella no pudo dar una derivación satisfactoria de la ecuación. Sin embargo, el panel de jueces, el cual incluía los mejores matemáticos de su tiempo,  consideró la segunda memoria matemática de Sophie Germain digna de una mención honorífica.

Otra vez el concurso se abrió y, en 1815, Sophie Germain finalmente se ganó el grand prix, el primer lugar y una medalla de un kilogramo de oro. Lo que debería de haber sido el logro más grande de Sophie Germain y la fuente de su orgullo, sin embargo, se convirtió en una victoria agridulce. Ella recibió una respuesta muy lacónica de Siméon Denis Poisson, uno de los jueces y su rival principal en la teoría de elasticidad, quien escribió que su análisis contenía todavía muchas deficiencias y carecía de rigor matemático. Sophie Germain no apareció en la ceremonia de premios, decepcionando a mucha gente quien deseaba conocerla. Se ha sugerido[1] que Sophie creía que los jueces no apreciaron completamente su trabajo, y que la comunidad científica no le mostró el respeto que ella se merecía. De hecho, extrañamente, se ha reportado que Poisson evitó discusiónes serias con Sophie y la ignoraba en publico.

No es difícil imaginar la decepción de Sophie al ver la respuesta poco grata de los científicos que ella anhelaba tanto. Aunque ella fué la primera que trató de resolver un problema tan desafiante y difícil, y otros usaron su análisis en elasticidad para derivar sus propios resultados,  no se le tomó a Sophie con la seriedad y respeto que ella se merecía.

Sophie extendió su investigación y, en 1825, ella sometió un articulo a una comisión del Institut de France, la cual incluía como miembros a Poisson, Gaspard de Prony y Laplace. Tristemente, la comisión ignoró el ensayo de Sophie y su trabajo no fue reconocido hasta  1880, cuando su erticulo se encontró entre los papeles de Prony.

Joseph Fourier (1768 -1830), otro matemático francés genial quien claramente admiraba a Sophie Germain, le ofreció su amistad y trató de ayudarla. En 1823 él le escribió para invitarla a las reuniones de la Academia de Ciencias. Ella también ganó el respeto de muchos otros. El científico francés Jean-Baptiste Biot escribió que “Mlle Germain es probablemente la única de su género quien ha penetrado más profundamente la ciencia de matemáticas, sin contar Mme du Châtelet, ya que no había un Clairaut” (el colaborador de Emilie Châtelet)[2]. No obstante, Sophie Germain continuó trabajando sola hasta su muerte.  En 1829 Sophie estuvo afligida con cáncer del seno pero, sin dejarse intimidar por su enfermedad y por la segunda revolución francesa que se desencadenó otra vez en 1830, ella escribió artículos en la teoría de números y en la curvatura de superficies. Ella bosquejó un ensayo filosófico, el cual su sobrino publicó póstumamente como Considérations Générale sur l'état des Sciences et des Lettres en la revista Oeuvres Philosophiques.

Maria-Sophie Germain murió en París el 27 de Junio de 1831. Su partida de defunción la registró no como matemática o científica como se debería de haber reconocido, pero como una rentière, o rentista, una persona que vivía de sus rentas. Sin embargo, en 1870 se le reconoció como filósofa y matemática en una placa que hasta ahora se ve en el edificio donde ella vivió sus ultimos años.

Teorema de Sophie Germain

Sea n un primo impar. Si hay un primo auxiliar p con las propiedades que

Caso 1:  xⁿ + yⁿ + zⁿ = 0 mod p implica que x = 0 mod p, o y = 0 mod p, o z = 0 mod p, y

Caso 2:  xⁿ = n mod p es imposible por cualquier valor de x, entonces Caso I del Teorema Final de Fermat es verdad para n.

Para ver por qué Caso I es valedero para un primo Germain, supone que p = 2n + 1 es un primo, donde n es un primo impar. Entonces para cualquier número 0 < a < p, el Teorema de Fermat implica que (aⁿ)² = a^p-1 = 1 mod p. Por lo tanto, (aⁿ - 1)(aⁿ + 1) = 0 mod p, y ya que p es un primo, debemos de tener aⁿ = 1 mod p o aⁿ = -1 mod p. Esto significa que si x, y, y z no son congruentes con 0 mod p, entonces xⁿ + yⁿ + zⁿ =  ±1 ±1 ±1, lo cual nunca puede ser igual a 0 mod p. Por eso la propiedad (1) en el Teorema de Sofi Germain vale. Además, es imposible que xⁿ = n mod p  tanga una solución, estableciendo la propiedad (2) en el Teorema de Sofi Germain.

Por cada primo impar n < 100, Germain dio un primo p por el cual su teorema es aplicable, por eso demostrando que el Caso I del Ultimo Teorema de Fermat se mantiene con todos los exponentes primos menores de 100.

Legendre generalizó el argumento de Germain para demostrar que las propiedades (1) y (2) aplican para los exponentes primos impares n siempre que uno de los números 4n + 1, 8n + 1, 10n + 1, 14n + 1, o 16n + 1 sea un primo. Cuando n = 3, los números 4·3 + 1 = 13, 10·3 + 1 = 31, y 14·3 + 1 = 43 todos son primos, pero solo p = 13 satisface la propiedades (1) y (2) con n = 3 (note que p = 2·3 + 1 = 7 también satisfaces las dos propiedades.) Con este resultado Legendre pudo demostrar que todos los exponentes primos menos de 197 satisfacen el Caso I del Ultimo Teorema de Fermat. Sophie Germain y Legendre terminaron el análisis con el número 197. El primer primo que resulta con n = 197 es p = 7487 = 38·197 + 1.